Jadi, solusi dari persamaan $3x – 5 = 10$ adalah $x = 5$.

Konsep Dasar Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel mirip dengan persamaan linear, namun menggunakan simbol ketidaksetaraan seperti $<$, $>$, $le$, atau $ge$. Solusinya bukan hanya satu nilai, melainkan sebuah rentang nilai.

Contoh Soal 2: Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Sederhana

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: $2x + 3 < 11$.

Penjelasan Langkah demi Langkah:

1. Identifikasi Pertidaksamaan: Kita memiliki pertidaksamaan $2x + 3 < 11$.
2. Kurangi Konstanta dari Kedua Sisi: Untuk mengisolasi suku yang mengandung $x$, kurangi $3$ dari kedua sisi:
   $2x + 3 – 3 < 11 – 3$
   $2x < 8$
3. Bagi dengan Koefisien Variabel: Bagi kedua sisi dengan $2$:
   $frac2x2 < frac82$
   $x < 4$

Himpunan penyelesaiannya adalah semua bilangan real yang lebih kecil dari $4$. Dalam notasi himpunan, bisa ditulis sebagai $ x < 4$.

Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel memiliki dua variabel, biasanya $x$ dan $y$, dan pangkat tertinggi dari setiap variabel adalah satu. Bentuk umumnya adalah $ax + by = c$.

Contoh Soal 3: Mencari Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel

Tentukan tiga pasangan solusi untuk persamaan linear $2x + y = 7$.

Penjelasan Langkah demi Langkah:

Untuk mencari pasangan solusi, kita bisa memisalkan salah satu variabel dengan nilai tertentu, lalu mencari nilai variabel lainnya.

• Solusi 1: Misalkan $x = 1$.
  $2(1) + y = 7$
  $2 + y = 7$
  $y = 7 – 2$
  $y = 5$
  Jadi, salah satu solusinya adalah $(1, 5)$.

• Solusi 2: Misalkan $x = 3$.
  $2(3) + y = 7$
  $6 + y = 7$
  $y = 7 – 6$
  $y = 1$
  Jadi, solusi lainnya adalah $(3, 1)$.

• Solusi 3: Misalkan $y = 3$.
  $2x + 3 = 7$
  $2x = 7 – 3$
  $2x = 4$
  $x = 2$
  Jadi, solusi ketiga adalah $(2, 3)$.

Tiga pasangan solusi untuk persamaan $2x + y = 7$ adalah $(1, 5)$, $(3, 1)$, dan $(2, 3)$.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan variabel yang sama. Tujuannya adalah mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut secara bersamaan. Ada beberapa metode untuk menyelesaikannya, di antaranya substitusi, eliminasi, dan grafik.

Contoh Soal 4: Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

1. $x + 2y = 5$
2. $3x – y = 4$

Penjelasan Langkah demi Langkah:

1. Pilih Salah Satu Persamaan untuk Diubah: Kita akan mengubah Persamaan 1 untuk menyatakan $x$ dalam bentuk $y$ (atau sebaliknya).
   Dari Persamaan 1: $x = 5 – 2y$.

2. Substitusikan ke Persamaan Lain: Gantikan $x$ pada Persamaan 2 dengan $(5 – 2y)$:
   $3(5 – 2y) – y = 4$

3. Selesaikan untuk Variabel yang Tersisa: Sekarang kita memiliki persamaan hanya dengan variabel $y$.
   $15 – 6y – y = 4$
   $15 – 7y = 4$
   $-7y = 4 – 15$
   $-7y = -11$
   $y = frac-11-7 = frac117$

4. Substitusikan Nilai Variabel Kembali: Gantikan nilai $y = frac117$ ke dalam persamaan yang telah kita ubah ($x = 5 – 2y$) untuk mencari nilai $x$.
   $x = 5 – 2(frac117)$
   $x = 5 – frac227$
   Untuk mengurangkan, samakan penyebutnya:
   $x = frac357 – frac227$
   $x = frac137$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (frac137, frac117)$.

Contoh Soal 5: Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

1. $2x + 3y = 10$
2. $x – y = 0$

Penjelasan Langkah demi Langkah:

1. Samakan Koefisien Salah Satu Variabel: Tujuan metode eliminasi adalah membuat koefisien salah satu variabel sama (atau berlawanan) pada kedua persamaan, sehingga saat dikurangi atau dijumlahkan, variabel tersebut akan tereliminasi.
   Pada Persamaan 2, koefisien $x$ adalah $1$. Kita bisa mengalikan seluruh Persamaan 2 dengan $2$ agar koefisien $x$ menjadi $2$, sama seperti di Persamaan 1.
   Persamaan 2 dikali 2: $2(x – y) = 2(0) implies 2x – 2y = 0$.

2. Eliminasi Variabel: Sekarang kita punya sistem baru:

   1. $2x + 3y = 10$
   2. $2x – 2y = 0$
      Karena koefisien $x$ sama, kita kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
      $(2x + 3y) – (2x – 2y) = 10 – 0$
      $2x + 3y – 2x + 2y = 10$
      $5y = 10$

3. Selesaikan untuk Variabel yang Tersisa:
   $y = frac105 = 2$.

4. Substitusikan Nilai Variabel Kembali: Gantikan nilai $y = 2$ ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 2) untuk mencari nilai $x$.
   $x – y = 0$
   $x – 2 = 0$
   $x = 2$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (2, 2)$.

Fungsi Kuadrat: Memahami Kurva Parabola

Bab selanjutnya dalam matematika kelas 10 semester 1 adalah fungsi kuadrat. Fungsi ini menghasilkan grafik berbentuk parabola, yang memiliki banyak aplikasi dalam fisika dan teknik.

Konsep Dasar Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya adalah $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dan $a ne 0$.

• Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola): Bentuk parabola bisa terbuka ke atas (jika $a > 0$) atau terbuka ke bawah (jika $a < 0$).

Menentukan Titik Puncak dan Sumbu Simetri

Titik puncak adalah titik tertinggi atau terendah pada parabola. Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris.

• Rumus Titik Puncak: Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dihitung dengan:
  $x_p = -fracb2a$
  $y_p = f(x_p) = a(x_p)^2 + b(x_p) + c$

• Rumus Sumbu Simetri: Persamaan sumbu simetri adalah $x = x_p = -fracb2a$.

Contoh Soal 6: Menentukan Titik Puncak dan Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Tentukan titik puncak dan sumbu simetri dari fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 6x + 5$.

Penjelasan Langkah demi Langkah:

1. Identifikasi Koefisien: Dari $f(x) = x^2 – 6x + 5$, kita punya $a = 1$, $b = -6$, dan $c = 5$.

2. Hitung Koordinat $x$ Titik Puncak (Sumbu Simetri):
   $x_p = -fracb2a = -frac-62(1) = -frac-62 = 3$.
   Jadi, sumbu simetrinya adalah $x = 3$.

3. Hitung Koordinat $y$ Titik Puncak: Substitusikan $x_p = 3$ ke dalam fungsi:
   $y_p = f(3) = (3)^2 – 6(3) + 5$
   $y_p = 9 – 18 + 5$
   $y_p = -9 + 5$
   $y_p = -4$.

Titik puncaknya adalah $(3, -4)$ dan sumbu simetrinya adalah $x = 3$.

Menentukan Titik Potong dengan Sumbu X dan Sumbu Y

• Titik Potong Sumbu X (Akar-akar Persamaan Kuadrat): Terjadi ketika $f(x) = 0$. Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $ax^2 + bx + c = 0$ adalah titik potong dengan sumbu X.
• Titik Potong Sumbu Y: Terjadi ketika $x = 0$. Nilainya adalah $f(0) = c$.

Contoh Soal 7: Menentukan Titik Potong Sumbu X dan Sumbu Y Fungsi Kuadrat

Tentukan titik potong sumbu X dan sumbu Y dari fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 4$.

Penjelasan Langkah demi Langkah:

1. Titik Potong Sumbu X: Setel $f(x) = 0$.
   $x^2 – 4 = 0$
   $x^2 = 4$
   $x = pmsqrt4$
   $x = 2$ atau $x = -2$.
   Jadi, titik potong sumbu X adalah $(-2, 0)$ dan $(2, 0)$.

2. Titik Potong Sumbu Y: Setel $x = 0$.
   $f(0) = (0)^2 – 4 = -4$.
   Jadi, titik potong sumbu Y adalah $(0, -4)$.

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat meliputi:

1. Menentukan koefisien $a$, $b$, dan $c$.
2. Menentukan arah bukaan parabola (berdasarkan tanda $a$).
3. Menentukan sumbu simetri.
4. Menentukan titik puncak.
5. Menentukan titik potong sumbu X (jika ada).
6. Menentukan titik potong sumbu Y.
7. Menentukan beberapa titik lain jika diperlukan untuk kelancaran kurva.
8. Menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus membentuk parabola.

Contoh Soal 8: Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi kuadrat $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Penjelasan Langkah demi Langkah:

1. Koefisien: $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$.
2. Arah Bukaan: Karena $a = -1 < 0$, parabola terbuka ke bawah.
3. Sumbu Simetri: $x_p = -fracb2a = -frac22(-1) = -frac2-2 = 1$. Sumbu simetri: $x = 1$.
4. Titik Puncak: $y_p = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Titik puncak: $(1, 4)$.
5. Titik Potong Sumbu X: Setel $f(x) = 0$.
   $-x^2 + 2x + 3 = 0$
   $x^2 – 2x – 3 = 0$ (kalikan dengan -1)
   $(x – 3)(x + 1) = 0$
   $x = 3$ atau $x = -1$. Titik potong sumbu X: $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$.
6. Titik Potong Sumbu Y: $f(0) = 3$. Titik potong sumbu Y: $(0, 3)$.
7. Plot Titik dan Gambar: Plot titik-titik $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 3)$, dan $(1, 4)$. Karena sumbu simetri adalah $x=1$, titik $(0, 3)$ akan memiliki pasangan simetris di $x = 1 + (1-0) = 2$, yaitu $(2, 3)$. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva parabola yang terbuka ke bawah.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV): Melangkah Lebih Jauh

Memasuki akhir semester, siswa akan dihadapkan pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Ini merupakan perluasan dari SPLDV, di mana ada tiga variabel ($x$, $y$, dan $z$) dan setidaknya tiga persamaan linear.

Konsep Dasar SPLTV

Bentuk umum SPLTV adalah:
$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$

Metode penyelesaian yang umum digunakan adalah substitusi, eliminasi, atau gabungan keduanya. Metode gabungan seringkali menjadi pilihan yang efisien.

Contoh Soal 9: Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Gabungan

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

1. $x + y + z = 6$
2. $2x – y + z = 3$
3. $x + 2y – z = 2$

Penjelasan Langkah demi Langkah:

1. Eliminasi Satu Variabel dari Dua Pasang Persamaan:

   • Eliminasi $y$ dari Persamaan 1 dan 2:
     Tambahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
     $(x + y + z) + (2x – y + z) = 6 + 3$
     $3x + 2z = 9$ (Persamaan 4)

   • Eliminasi $y$ dari Persamaan 1 dan 3:
     Kalikan Persamaan 1 dengan 2: $2x + 2y + 2z = 12$.
     Kurangkan Persamaan 3 dari Persamaan 1 yang dikalikan 2:
     $(2x + 2y + 2z) – (x + 2y – z) = 12 – 2$
     $2x + 2y + 2z – x – 2y + z = 10$
     $x + 3z = 10$ (Persamaan 5)

2. Selesaikan SPLDV dari Persamaan 4 dan 5: Sekarang kita punya sistem baru dengan dua variabel, $x$ dan $z$.

   4. $3x + 2z = 9$
   5. $x + 3z = 10$

   Kita bisa menggunakan metode eliminasi lagi. Kalikan Persamaan 5 dengan 3 agar koefisien $x$ sama dengan di Persamaan 4:
   $3(x + 3z) = 3(10) implies 3x + 9z = 30$.

   Kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 5 yang dikalikan 3:
   $(3x + 9z) – (3x + 2z) = 30 – 9$
   $7z = 21$
   $z = 3$.

3. Substitusikan Nilai $z$ ke Salah Satu Persamaan (4 atau 5) untuk Mencari $x$:
   Gunakan Persamaan 5:
   $x + 3z = 10$
   $x + 3(3) = 10$
   $x + 9 = 10$
   $x = 1$.

4. Substitusikan Nilai $x$ dan $z$ ke Salah Satu Persamaan Awal (1, 2, atau 3) untuk Mencari $y$:
   Gunakan Persamaan 1:
   $x + y + z = 6$
   $1 + y + 3 = 6$
   $y + 4 = 6$
   $y = 2$.

Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y, z) = (1, 2, 3)$.

Kesimpulan

Materi matematika kelas 10 semester 1 mencakup topik-topik fundamental yang sangat penting untuk keberhasilan studi matematika di jenjang selanjutnya. Mulai dari persamaan dan pertidaksamaan linear, fungsi kuadrat, hingga sistem persamaan linear tiga variabel, setiap bab menyajikan konsep dan teknik penyelesaian yang unik.

Memahami contoh soal dan cara penyelesaiannya secara detail, seperti yang telah dibahas dalam artikel ini, adalah kunci untuk menguasai materi. Latihan soal secara rutin akan memperkuat pemahaman konsep, meningkatkan kecepatan dan ketepatan dalam menyelesaikan soal, serta membangun kepercayaan diri dalam menghadapi berbagai tantangan matematika. Ingatlah, matematika adalah sebuah keterampilan yang dapat diasah melalui latihan dan ketekunan. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada hal yang belum dipahami, dan teruslah berlatih!