Pendidikan

II. Fungsi

Fungsi adalah relasi khusus di mana setiap anggota domain berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain.

• A. Pengertian Fungsi

  Contoh Soal 6:
  Manakah dari relasi berikut yang merupakan fungsi dari himpunan $A = 1, 2, 3$ ke himpunan $B = a, b, c$?
  a. $(1, a), (2, b), (3, c)$
  b. $(1, a), (2, a), (2, b), (3, c)$
  c. $(1, a), (1, b), (2, c)$

  Pembahasan:
  Sebuah relasi adalah fungsi jika setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan di kodomain.
  a. Setiap anggota A (1, 2, 3) memiliki tepat satu pasangan di B. Ini adalah fungsi.
  b. Anggota domain 2 memiliki dua pasangan di B (a dan b). Ini bukan fungsi.
  c. Anggota domain 1 memiliki dua pasangan di B (a dan b). Ini bukan fungsi.
  Jadi, jawaban yang benar adalah a.

• B. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

  • Domain: Himpunan semua input (anggota himpunan asal).
  • Kodomain: Himpunan semua kemungkinan output (anggota himpunan tujuan).
  • Range: Himpunan semua output yang sebenarnya dihasilkan oleh fungsi (subset dari kodomain).

  Contoh Soal 7:
  Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 1$ dengan domain $D_f = 1, 2, 3$. Tentukan kodomain dan range fungsi tersebut.

  Pembahasan:
  Kodomain adalah himpunan semua kemungkinan output yang ditetapkan, namun dalam soal ini tidak disebutkan secara eksplisit. Biasanya, jika tidak disebutkan, kodomain dapat diasumsikan sebagai himpunan bilangan real ($mathbbR$) atau himpunan yang mencakup semua hasil perhitungan.
  Untuk mencari range, kita substitusikan setiap anggota domain ke dalam fungsi:
  $f(1) = 2(1) + 1 = 3$
  $f(2) = 2(2) + 1 = 5$
  $f(3) = 2(3) + 1 = 7$
  Jadi, range fungsi $f$ adalah $R_f = 3, 5, 7$. Jika kodomain diasumsikan $mathbbR$, maka $3, 5, 7 subset mathbbR$.

• C. Menentukan Sifat Fungsi (Injektif, Surjektif, Bijektif)

  • Injektif (satu-satu): Jika $f(a) = f(b)$, maka $a = b$. Setiap anggota kodomain memiliki paling banyak satu pasangan di domain.
  • Surjektif (pada): Jika untuk setiap $y$ di kodomain, terdapat $x$ di domain sedemikian sehingga $f(x) = y$. Setiap anggota kodomain memiliki setidaknya satu pasangan di domain.
  • Bijektif: Fungsi yang bersifat injektif dan surjektif sekaligus.

  Contoh Soal 8:
  Diketahui fungsi $f: mathbbR rightarrow mathbbR$ dengan $f(x) = x^2$. Tentukan apakah fungsi ini injektif, surjektif, atau bijektif.

  Pembahasan:

  • Injektif: Misalkan $f(a) = f(b)$. Maka $a^2 = b^2$. Ini tidak berarti $a=b$, karena bisa jadi $a=-b$. Contoh: $f(2) = 2^2 = 4$ dan $f(-2) = (-2)^2 = 4$. Karena ada dua elemen domain yang berbeda (2 dan -2) yang menghasilkan output yang sama (4), maka fungsi $f(x) = x^2$ tidak injektif.
  • Surjektif: Kodomainnya adalah $mathbbR$ (semua bilangan real). Namun, range dari $f(x) = x^2$ adalah $[0, infty)$ (semua bilangan real non-negatif). Ada elemen di kodomain (misalnya -1) yang tidak dapat dicapai oleh fungsi ini (tidak ada $x$ sedemikian sehingga $x^2 = -1$ dalam bilangan real). Jadi, fungsi ini tidak surjektif.
  • Bijektif: Karena tidak injektif dan tidak surjektif, maka fungsi ini tidak bijektif.

• D. Operasi pada Fungsi
  Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi, maka:
  $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
  $(f-g)(x) = f(x) – g(x)$
  $(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x)$
  $(fracfg)(x) = fracf(x)g(x)$, dengan syarat $g(x) ne 0$.

  Contoh Soal 9:
  Diketahui $f(x) = x^2 – 1$ dan $g(x) = 2x + 3$. Tentukan $(f+g)(x)$ dan $(f cdot g)(x)$.

  Pembahasan:
  $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (x^2 – 1) + (2x + 3) = x^2 + 2x + 2$.
  $(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x) = (x^2 – 1)(2x + 3) = 2x^3 + 3x^2 – 2x – 3$.

• E. Fungsi Komposisi
  Fungsi komposisi $(f circ g)(x)$ berarti menerapkan fungsi $g$ terlebih dahulu, kemudian menerapkan fungsi $f$ pada hasil dari $g(x)$. Jadi, $(f circ g)(x) = f(g(x))$.

  Contoh Soal 10:
  Diketahui $f(x) = 3x – 2$ dan $g(x) = x + 5$. Tentukan $(f circ g)(x)$ dan $(g circ f)(x)$.

  Pembahasan:
  $(f circ g)(x) = f(g(x))$. Ganti setiap $x$ pada $f(x)$ dengan $g(x)$:
  $f(g(x)) = 3(g(x)) – 2 = 3(x + 5) – 2 = 3x + 15 – 2 = 3x + 13$.

  $(g circ f)(x) = g(f(x))$. Ganti setiap $x$ pada $g(x)$ dengan $f(x)$:
  $g(f(x)) = (f(x)) + 5 = (3x – 2) + 5 = 3x + 3$.
  Perhatikan bahwa $(f circ g)(x) ne (g circ f)(x)$ pada contoh ini.

III. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Materi ini berfokus pada persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan variabel berpangkat paling tinggi satu.

• A. Persamaan Linear Satu Variabel
  Bentuk umum: $ax + b = c$. Solusinya adalah nilai $x$ yang membuat persamaan menjadi benar.

  Contoh Soal 11:
  Selesaikan persamaan $3(x – 2) + 5 = 2x + 4$.

  Pembahasan:
  Distribusikan 3: $3x – 6 + 5 = 2x + 4$
  Gabungkan konstanta di ruas kiri: $3x – 1 = 2x + 4$
  Kurangi $2x$ dari kedua ruas: $3x – 2x – 1 = 4 implies x – 1 = 4$
  Tambahkan 1 ke kedua ruas: $x = 4 + 1 implies x = 5$.
  Jadi, solusi persamaan tersebut adalah $x = 5$.

• B. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
  Bentuk umum: $ax + b > c$, $ax + b < c$, $ax + b ge c$, atau $ax + b le c$. Solusinya adalah rentang nilai $x$.

  Contoh Soal 12:
  Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $2(x + 1) – 3 le 5x + 7$.

  Pembahasan:
  Distribusikan 2: $2x + 2 – 3 le 5x + 7$
  Gabungkan konstanta di ruas kiri: $2x – 1 le 5x + 7$
  Kurangi $2x$ dari kedua ruas: $-1 le 3x + 7$
  Kurangi 7 dari kedua ruas: $-1 – 7 le 3x implies -8 le 3x$
  Bagi kedua ruas dengan 3 (karena 3 positif, arah pertidaksamaan tidak berubah): $-frac83 le x$.
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x mid x ge -frac83$.

• C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
  Terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel. Dapat diselesaikan dengan metode substitusi, eliminasi, atau grafik.

  Contoh Soal 13:
  Tentukan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan berikut:
  1) $2x + y = 7$
  2) $x – y = 2$

  Pembahasan (Metode Eliminasi):
  Jumlahkan persamaan (1) dan (2) untuk mengeliminasi $y$:
  $(2x + y) + (x – y) = 7 + 2$
  $3x = 9$
  $x = 3$

  Substitusikan nilai $x = 3$ ke salah satu persamaan, misalnya persamaan (2):
  $3 – y = 2$
  $-y = 2 – 3$
  $-y = -1$
  $y = 1$
  Jadi, solusi SPLDV adalah $x = 3$ dan $y = 1$.

• D. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPDLV)
  Terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua variabel. Solusinya adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

  Contoh Soal 14:
  Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut:
  $x + y le 5$
  $x ge 1$
  $y ge 0$

  Pembahasan:

  1. Untuk $x + y le 5$: Gambar garis $x + y = 5$. Titik potong sumbu $x$ adalah $(5, 0)$ dan titik potong sumbu $y$ adalah $(0, 5)$. Uji titik $(0,0)$: $0+0 le 5$ (Benar). Jadi, daerah penyelesaiannya adalah di bawah atau pada garis tersebut.
  2. Untuk $x ge 1$: Garis vertikal $x = 1$. Daerah penyelesaiannya adalah di kanan atau pada garis tersebut.
  3. Untuk $y ge 0$: Garis horizontal $y = 0$ (sumbu $x$). Daerah penyelesaiannya adalah di atas atau pada garis tersebut.

  Daerah penyelesaian dari SPDLV ini adalah segitiga yang dibatasi oleh ketiga garis tersebut di kuadran pertama. Titik-titik sudutnya adalah $(1, 0)$, $(5, 0)$, dan $(1, 4)$.

IV. Trigonometri Dasar

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas 10, pengenalan konsep ini dimulai.

• A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
  Jika $theta$ adalah salah satu sudut lancip pada segitiga siku-siku, maka:
  Sinus ($sin theta$) = Sisi depan / Sisi miring
  Kosinus ($cos theta$) = Sisi samping / Sisi miring
  Tangen ($tan theta$) = Sisi depan / Sisi samping
  (Dan perbandingan kebalikannya: cosecan, secan, cotangen)

  Contoh Soal 15:
  Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = 3 cm dan BC = 4 cm. Tentukan nilai $sin A$, $cos A$, dan $tan A$.

  Pembahasan:
  Pertama, cari panjang sisi miring (AC) menggunakan Teorema Pythagoras:
  $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
  $AC = sqrt25 = 5$ cm.

  Sekarang tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut A:
  Sisi depan sudut A adalah BC = 4 cm.
  Sisi samping sudut A adalah AB = 3 cm.
  Sisi miring adalah AC = 5 cm.

  $sin A = fractextdepantextmiring = fracBCAC = frac45$
  $cos A = fractextsampingtextmiring = fracABAC = frac35$
  $tan A = fractextdepantextsamping = fracBCAB = frac43$

• B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
  Sudut-sudut seperti 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° memiliki nilai perbandingan trigonometri yang umum digunakan.

  Contoh Soal 16:
  Hitung nilai dari $sin 30^circ + cos 45^circ – tan 60^circ$.

  Pembahasan:
  Gunakan nilai-nilai sudut istimewa:
  $sin 30^circ = frac12$
  $cos 45^circ = fracsqrt22$
  $tan 60^circ = sqrt3$

  Maka, $sin 30^circ + cos 45^circ – tan 60^circ = frac12 + fracsqrt22 – sqrt3$.
  Ini bisa juga ditulis sebagai $frac1 + sqrt2 – 2sqrt32$.

• C. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
  Tanda perbandingan trigonometri bergantung pada kuadran tempat sudut tersebut berada.

  • Kuadran I (0°-90°): Semua positif.
  • Kuadran II (90°-180°): Sinus positif, lainnya negatif.
  • Kuadran III (180°-270°): Tangen positif, lainnya negatif.
  • Kuadran IV (270°-360°): Kosinus positif, lainnya negatif.

  Contoh Soal 17:
  Jika $sin theta = -frac35$ dan $theta$ berada di kuadran IV, tentukan nilai $cos theta$ dan $tan theta$.

  Pembahasan:
  Diketahui $sin theta = fractextdepantextmiring = -frac35$. Karena berada di kuadran IV, sinus bernilai negatif, yang sesuai. Sisi depan adalah -3 dan sisi miring adalah 5 (panjang sisi miring selalu positif).
  Cari sisi samping menggunakan Teorema Pythagoras:
  $samping^2 + depan^2 = miring^2$
  $samping^2 + (-3)^2 = 5^2$
  $samping^2 + 9 = 25$
  $samping^2 = 16$
  $samping = pm 4$.

  Karena $theta$ berada di kuadran IV, nilai cosinus bernilai positif. Sisi samping yang berhubungan dengan cosinus harus positif. Jadi, samping = 4.

  $cos theta = fractextsampingtextmiring = frac45$ (positif di kuadran IV).
  $tan theta = fractextdepantextsamping = frac-34$ (negatif di kuadran IV).

• D. Identitas Trigonometri Dasar
  Identitas yang paling mendasar adalah $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$.

  Contoh Soal 18:
  Jika $cos theta = frac12$ dan $theta$ adalah sudut lancip, tentukan nilai $sin theta$.

  Pembahasan:
  Gunakan identitas $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$.
  $sin^2 theta + (frac12)^2 = 1$
  $sin^2 theta + frac14 = 1$
  $sin^2 theta = 1 – frac14$
  $sin^2 theta = frac34$
  $sin theta = pm sqrtfrac34 = pm fracsqrt32$.

  Karena $theta$ adalah sudut lancip (berada di kuadran I), nilai sinusnya positif.
  Jadi, $sin theta = fracsqrt32$.

Penutup

Memahami konsep-konsep dasar Matematika Kelas 10 Semester 1 melalui latihan soal yang beragam merupakan kunci keberhasilan belajar. Contoh-contoh soal yang telah dibahas mencakup berbagai topik esensial, mulai dari logika, fungsi, persamaan linear, hingga dasar trigonometri. Dengan terus berlatih dan memahami setiap langkah penyelesaian, diharapkan siswa dapat membangun kepercayaan diri dan menguasai materi secara optimal. Selamat belajar!